排队论在网络性能分析中的应用

Thu, 04 Jul 2019 00:00:00 +0000

排队论(queueing theory)也称随机服务系统理论，它研究的内容有三部分：性态问题、最优化问题和统计推断问题。（《运筹学》清华大学出版社）

下图描述了排队过程的一般流程：

现实中的排队问题是多种多样的，对上述“顾客源”和“服务机构”应该作宽泛的理解。顾客和服务机构可以是生物，也可以是非生物；排队结构可以是有形的，也可以是无形的，比如向交换台要求通话的请求；顾客可以走向服务机构，也可以相反，比如送货上门。

在网络中，服务器和用户之间相互传送数据包。数据包的传送需要时间，因此或多或少都会产生延迟。为了分析这些延迟，我们引入了一系列假设，并利用排队论对网络延迟进行建模分析。

本文将着重介绍网络性能分析(Network performance analysis)中几种常见的排队模型。它们是：

另外，作为以上模型的理论基础，本文将首先介绍泊松过程(Poisson process)。

泊松过程是马尔可夫过程的一个特例，在排队论中经常被用来估计顾客到达的概率分布。

（一）泊松过程的假设

在时间间隔$ \Delta t $内，有且仅有一位顾客到达的概率$ P $和$ \Delta t $成比例，比例系数为$ \lambda $
在时间间隔$ \Delta t $内，至多只允许一位顾客到达（否则应该选取一个更短的时间间隔）
$$\begin{aligned} P(\text { 在时间间隔 }[t, t+\Delta t] \text { 内，有且仅有一位顾客到达 }) &=\lambda \Delta t \\ P(\text { 在时间间隔 }[t, t+\Delta t]\text { 内，没有顾客到达 }) &=1-\lambda \Delta t \\ P(\text { 在时间间隔 }[t, t+\Delta t]\text { 内，多于一位顾客到达 }) &=0 \end{aligned}$$
泊松过程是对顾客到达过程的估计，故不考虑顾客的离开情况，所以到达人数只增不减

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