深度学习笔记

跟李沐老师学深度学习，课程见 d2l，如有错误，欢迎拍砖

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〇、技术路线图

flowchart TD
    A[softmax 回归] -->|无法拟合 XOR 函数| B[多层感知机]
    B --> |高像素图片作为输入，模型参数爆炸| C[卷积]
    C -->|数据的长宽下降太快| D[填充]
    C -->|数据的长宽下降太慢| E[步幅]
    C -->|缓解卷积对位置敏感| F[池化]
    C -->|多模式识别与组合| G[多通道输入/输出]

一、softmax 回归

1. 虽然叫回归，但是softmax 解决的是分类问题

• 回归估计是一个连续值
• 分类预测是一个离散类别

2. 分类应用举例

• MINIST
• ImageNet
• human-protein-atlas-image-classification (Kaggle)
• malware-classification (Kaggle)
• jigsaw-comment-classification (Kaggle)

3. 从回归到多类分类 – 均方损失

对分类结果做 one-hot 编码：

$y = [y_1, y_2, , ... , y_n]^T$

$y_i=\left\{\begin{array}{l}1 \text { if } i=y \\ 0 \text { otherwise }\end{array}\right.$

使用均方损失 ($O_i$) 训练：

$\hat{y}=\underset{i}{\operatorname{argmax}} o_i$

该式含义为：取最大化 $O_i$ 对应的 $i$ 作为 $\hat{y}$ 的估计值

4. 无校验比例

需要更置信地识别正确类（大余量）

$O_y - O_i \geq \Delta (y, i)$

5. 校验比例

现在我们得到的输出 $O_i$ 是一个向量，我们希望把它转化成每一种分类对应的概率。我们可以通过添加 softmax 操作子实现这一目标，它对 $O_i$ 做如下操作：

$\hat{y_i} = \frac{\exp(O_i)}{\sum_{k} \exp(O_k)}$

此时，$y$ 与 $\hat{y}$ 都是概率，我们可以把两个概率的区别 $y - \hat{y}$ 作为损失

6. 交叉熵损失

交叉熵常用来衡量两个概率的区别 $H(p, q) = \sum_{i} - P_i log(q_i)$

将它作为损失：

$l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}})=-\sum_i y_i \log \hat{y}_i=-\log \hat{y}_y$

PS：因为除了 $i = y$ 的情况，$i$ 为其他值时 $y_i$ 为 0

其梯度是真实概率和预测概率的区别：

$\partial_{o_i} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}})=\operatorname{softmax}(\mathbf{o})_i-y_i$

7. 总结

• Softmax回归是一个多类分类模型
• 使用Softmax操作子得到每个类的预测置信度
• 使用交叉熵来衡量预测和标号的区别

二、多层感知机

感知机解决的是二分类问题

1. 什么是感知机

给定输入 $x$，权重 $w$，和偏移 $b$，感知机输出：

$o = \sigma \left(\left<W, X\right> + b\right)$

$\sigma(x) = \left\{\begin{array}{l}1 \text { if } x > 0 \\ -1 \text { otherwise }\end{array}\right.$

2. 训练感知机

1. 初始化：w = 0, b = 0
2. 如果分类分错：$y_i [\left< W, X_i \right>] \leq 0 \text{ then } w \gets w + y_i x_i \text{ and } b \gets b + y_i $
3. 停止条件：所有类别都分对的时候停止

等价于使用批量大小为1的梯度下降，并使用如下损失函数：

$l\left(y, X, W\right) = max\left(0, -y\left<W, X\right>\right)$

3. 收敛定理

对于：

• 数据在半径 $r$ 内
• 余量 $\rho$ 将数据点分两类
• $\lvert\lvert w \rvert\rvert^{2} + b^2 \leq 1$

感知机保证在 $\frac{r^2 + 1}{\rho^2}$ 步后收敛

4. XOR问题 (Minsky & Papert, 1969)

感知机不能拟合 XOR 函数，它只能产生线性分割面

        |
    1   |   -1
        |
-----------------
        |
   -1   |    1
        |

由于感知机无法拟合 XOR 函数，导致了第一次 AI 寒冬。但是其实有办法解决这个问题，解决的方法叫 多层感知机。

5. 多层感知机

    　   |
   ①    |    ②
    　   |
-------------------
    　   |
   ③    |    ④
    　   |

• 先学一次：对于竖线，左边为 $+$ ，右边为 $-$
• 再学一次：对于横线：上边为 $+$ ，下边为 $-$

把两次分类结果组合一下（做乘法），就能表达 XOR 了。

对于我们的启发是：如果一个复杂问题一次性做不了，可以先用一个简单函数，再用一个简单函数，接着用一个简单函数组合这两者。也就是一层变多层，就可以表达复杂结果。

为什么说隐藏层的层数是超参？因为输入数据的维度 $n$ 和输出数据的维度 $m$ 都是由数据决定的，我们惟一能调的，只有隐藏层的层数。

6. 单隐藏层

• 输入：$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$
• 隐藏层：$\mathbf{W}_1 \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{b}_1 \in \mathbb{R}^m$
• 输出层：$\mathbf{w}_2 \in \mathbb{R}^{m}, \mathbf{b}_2 \in \mathbb{R}$

$~~~~~~~~~\mathbf{h} = \sigma \left( \mathbf{W}_1 + \mathbf{b}_1 \right)$

$~~~~~~~~~\mathbf{o} = \mathbf{w}_2^\mathbf{T} \mathbf{h} + \mathbf{b}_2$

$\sigma$ 是按元素的激活函数

Note: 为什么需要非线性的激活函数？

如果 $\sigma$ 是线性的，把公式一的 $\mathbf{h}$ 代入到公式二中，可得：

$\mathbf{hence} \space \mathbf{o} = \mathbf{w}_2^T \mathbf{W}_1 \mathbf{o} + b^{\prime}$ 依然是线性，折腾半天发现我们得到的依旧是一个最简单的线性模型。

7. Sigmoid 激活函数

将输入投影到 $(0, 1)$

$sigmoid(x) = \frac{1}{1 + \mathbf{exp}(-x)}$

8. Tanh 激活函数

将输入投影到 $(-1, 1)$

$tanh(x) = \frac{1 - \mathbf{exp}(-2x)}{1 + \mathbf{exp}(-2x)}$

9. ReLU 激活函数

ReLU: rectified linear unit

将输入投影到 $(0, +\infty)$

$ReLU(x) = \mathbf{max}(x, 0)$

指数运算是一个很贵的操作，所以为什么大家爱用ReLU，因为一个max就好了

10. 多类分类：借鉴 softmax

$softmax$ 就是输出一个堆概率 $y_1, y_2, ..., y_k$，所有这些加起来等于1

$y_1, y_2, ..., y_k = softmax(o_1, o_1, ... , o_k)$

11. 多隐藏层

$\mathbf{h}_1 = \sigma(\mathbf{W}_1\mathbf{x} + b_1)$

$\mathbf{h}_2 = \sigma(\mathbf{W}_2\mathbf{h}_1 + b_2)$

$\mathbf{h}_3 = \sigma(\mathbf{W}_3\mathbf{h}_2 + b_3)$

$\mathbf{o} = \mathbf{W}_4\mathbf{h}_3 + b_4$

激活函数主要是为了防止层数的塌陷，所以最后一层输出层不需要激活函数。

超参数：

• 隐藏层数
• 每层隐藏层的大小

12. 总结

• 多层感知机使用隐藏层和激活函数来得到非线性模型
• 常用激活函数是Sigmoid, Tanh, ReLU
• 使用Softmax来处理多类分类
• 超参数为隐藏层数，和各个隐藏层大小

三、卷积层

一张 12,000,000 像素的猫或者狗的图片，分RGB三种颜色，如果使用单隐藏层的 MLP 处理，模型有 3.6B 个参数，远多于世界上所有猫和狗的数量。

1. 识别器的原则

• 平移不变性（在图片的哪个位置都能识别到）
• 局部性（不需要看整张图就能识别）

2. 重新考察全连接层

• 将输入和输出变形为矩阵（宽度，高度）
• 将权重变形为4-D张量 $(h, w)$ 到 $(h^\prime, w^\prime)$ $h_{i,j} = \sum_{k,l} w_{i,j,k,l}x_{k,l} = \sum_{a,b} v_{i,j,a,b}x_{i+a,j+b}$
• $v$ 是 $w$ 的重新索引 $v_{i,j,i+a,j+b}$

3. 原则 #1 - 平移不变性

• x的平移导致h的平移 $h_{i,j} = \sum_{a,b} v_{i,j,a,b} x_{i+a,j+b}$
• v不应该依赖于(i, j)
• 解决方案：$v_{i,j,a,b} = v_{a,b}$ $h_{i,j} = \sum_{a,b} v_{a,b}x_{i+a,j+b}$

这就是二维卷积交叉相关

4. 原则 #2 - 局部性

$h_{i,j} = \sum_{a,b} \mathbf{v}{a,b} \mathbf{x}{i+a,j+b}$

• 当评估 $h_{i,j}$ 时，我们不应该用远离 $x_{i,j}$ 的参数
• 解决方案：当 $|a|, |b| > \Delta$ 时，使得 $v_{a,b} = 0$ $h_{i,j} = \sum_{a=-\Delta}^{\Delta} \sum_{b=-\Delta}^{\Delta} v_{a,b} x_{i+a,j+b}$

5. 小结

• 对全连接层使用平移不变性和局部性得到卷积层

$~~~~~~~~~~~h_{i,j} = \sum_{a,b} \mathbf{v}_{i,j,a,b} \mathbf{x}_{i+a,j+b}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$⬇

$~~~~~~~~~~~h_{i,j} = \sum_{a=-\Delta}^{\Delta} \sum_{b=-\Delta}^{\Delta} \mathbf{v}_{a,b} \mathbf{x}_{i+a,j+b}$

6. 二维交叉相关

• 卷积核 (Kernel)，其实就是 $\mathbf{w}$
• 核是不随扫描的位置变化的，这就实现了平移不变性

7. 二维卷积层

• 输入 $\mathbf{X}: n_h \times n_w$
• 核 $\mathbf{W}: k_h \times k_w$
• 偏差 $b \in \mathbb{R}$
• 输出 $\mathbf{Y}: (n_h - k_h + 1) \times (n_w - k_w + 1)$

$\mathbf{Y} = \mathbf{X} \mathbf{W} + b$

$\mathbf{W}$ 和 $b$ 是可学习的参数

8. 例子

不同的卷积核，会得到不同的效果

边缘检测

$\left[\begin{array}{c} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right]$

锐化

$\left[\begin{array}{c} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right]$

高斯模糊

$\frac{1}{16}\left[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right]$

9. 交叉相关 vs 卷积

• 二维交叉相关
• 二维卷积
• 由于对称性，在实际使用中没有区别

因为使用是一样的，所以没有使用数学上严格定义的卷积

10. 一维和三维交叉相关

• 一维：文本、语言、时需序列
• 二维：视频、医学图像、气象图像

11. 总结

• 卷积层将输入和核矩阵进行交叉相关，加上偏移后得到输出
• 核矩阵和偏移是可学习的参数
• 核矩阵的大小是超参数

四、LeNet

LeNet is a convolutional neural network structure proposed by LeCun et al. in 1998.

最早应用于手写数字识别。

MNIST 是 LeNet 附带的数据集

• 5w个训练数据
• 1w个测试数据
• 图像大小$28 \times 28$
• 10类

1. 小结

• LeNet是早期成功的神经网络
• 先使用卷积层来学习图片空间信息
• 然后使用全连接层来转换到类别空间

2. 卷积神经网络（LeNet）

LeNet (LeNet-5) 由两个部分组成：卷积编码器和全连接层密集块

五、AlexNet

1. 技术回顾

1）支持向量机

在2000年左右，最流行的机器学习的算法是核方法 (Learning with Kernels).

the Support Vector Machine (SVM)

• 特征提取
• 选择核函数来计算相似性
• 凸优化问题
• 漂亮的定理（来自泛函）

优点：对调参不敏感，闭着眼睛都可以用

2）几何学

• 抽取特征
• 描述几何（例如多相机）
• （非）凸优化
• 漂亮定理
• 如果假设满足，效果很好

3）特征工程

直接把特征放到SVM里效果非常差，所以需要做特征工程

• （在计算机视觉里）特征工程是关键
• 特征描述子：SIFT, SURF

2. ImageNet (2020)

• 图片：自然物体的彩色图片
• 大小：$469 \times 387$
• 样本数 1.2M
• 类数：1000

因为你有了更大的数据集，所以允许用更深的神经网络，用来抽取信息

3. AlexNet

• AlexNet赢了2012年ImageNet竞赛
• 更深更大的 LeNet
• 主要改进：
  • 丢弃法（因为模型大了，所以用丢弃做一点正则）
  • ReLU（$Sigmoid \space (LeNet) \to ReLU$，ReLU在零点的一阶导更好，梯度更大）
  • MaxPooling（数值比较大，梯度比较大，使得训练比较容易）
  • 计算机视觉方法论的改变
    • 核方法：人工特征提取 $\to$ SVM
    • 神经网络：通过 CNN 学习特征 $\to$ Softmax回归

4. AlexNet架构

1）第一个卷积层和池化层的区别

• 卷积：更大的窗口，更大的通道数，更大的步幅
• 池化：更大的窗口且stride不变（对位置更不敏感），使用MaxPool

2）接下来

• 新增了3层卷积层
• 更多的输出通道

3）全连接层

• 隐藏层大小：120 $\to$ 4096
• 输出类别：10 $\to$ 1000

5. 更多细节

• 激活函数从 Sigmoid 变到了 ReLU（减缓梯度消失，因为梯度比较大）
• 隐藏全连接层后加入了丢弃层
• 数据增强（随机截取采样，调亮度/色温。神经网络会记住所有数据，数据增强能让记住数据的能力变低）

6. 总结

• AlexNet是更大更深的LeNet，10x参数个数，260x计算复杂度
• 新加入了丢弃法，ReLU，最大池化层，和数据增强
• AlexNet赢下了2012ImageNet竞赛后，标志着新的一轮神经网络热潮的开始